Aqui se presentan dos videos, en los cuales se ejemplifican temas para su mejor comprendimiento:
PERMUTACION

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DIAGRAMA DE ARBOL

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COVARIANZA
Es un parámetro que se obtiene a partir de los datos de una distribución bidimensional.
Es la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas.
La covarianza mide, en cierto modo, el grado de relación entre las dos variables (cómo varía la una respecto de la otra), pero tiene el inconveniente de que su valor depende de las unidades en que se expresen las variables.



COEFICIENTE DE CORRELACION
La medida exacta del grado de dependencia entre las dos variables de una distribución bidimensional se obtiene por medio del denominado coeficiente de correlación.
Se utiliza para analizar la correlación que existe entre dos variables, y se expresa en la siguiente formula:



Este parámetro se define como el cociente entre la covarianza de la distribución y el producto de las desviaciones típicas de cada una de las variables.

En una distribución bidimensional, se define correlación, denotada por r, como el grado de dependencia que existe entre las dos variables del modelo.
Cuando al aumentar el valor de una variable crece también el de la otra, la correlación es directa, e inversa en caso contrario.

Si no existe dependencia entre las variables, la correlación es nula.
Para conocer si una correlación es directa o inversa, basta con determinar su covarianza:
Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.
Cuando la covarianza es negativa, existe una correlación inversa entre las variables.




Ejemplo de correlación inversa:



RECTA DE REGRECION



También llamada de mínimos cuadrados es un método que se emplea para estimar o predecir el valor de una variable en función de otra. El diagrama de dispersión, sirve de base para conocer el tipo de curva de x,y.

La recta de regresión se obtiene mediante la siguiente formula:






PROBABILIDAD

Probabilidad, rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento, también se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso, está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, por que fueron capases de dar soluciones a problemas a los juegos de azar
.





La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el 50%.


El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede configurarse un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad.


EVENTO AZAROZO


Se refiere a los eventos en los cuales no sabemos cuál de los resultados posibles tendrá. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire, no sabemos cuál de los dos lados caerá arriba, aunque sabemos que saldrá águila o sol.

Tiene la probabilidad de que un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre, se da un termino de fracción.


Ejemplos de eventos azarosos:
 El tiempo que invierten las personas en trasladarse de un lugar a otro.
 Los resultados del próximo sorteo de la lotería.
 Posibilidad de tener una enfermedad hereditaria.



EXPERIMENTO:

Es un proceso que produce un resultado o una observación, un experimento es aleatorio cuando los resultados no se conocen y no se pueden predecir y son deterministicos aquellos que describen los fenómenos cuyos resultados se pueden predecir



EXPERIMENTO: lanzamiento de un dado
S= 1,2,3,4,5,6.
Ejemplo: EA= obtener un numero par al azar
A= {2,4,6 }

ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.
Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sol} ó E = {c, s}.


Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es
E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}
ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}


Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es
E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.


Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

EVENTO O SUCESO:
Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.
Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:


1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}
2. Obtener un número primo y par B = {2}
3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

PROBABILIDAD CLASICA
Es aquella que concidera los espacios muestrales uniformes y asigna la misma probabilidad a cada punto del espacio muestral y para calcular la probabilidad de cualquier evento se efectua el cosiente del numero de eventos entre el numero de eventos del espacio muestral con la siguiente formula:
P(E)=E/S


Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento E.

PROBABILIDAD FRECUENCIAL
Es el valor que tiende a repetir varias veces un experimento y el cociente del número de veces en que se presento el resultado buscado entre el numero de ocasiones en que se repita el experimento.

CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD
CONCEPTOS BÁSICOS


Probabilidad. Es el estudio de los fenómenos de los que no estamos seguros de su ocurrencia.
Fenómeno. Es la ocurrencia de un hecho o suceso.
Experimento. Es un fenómeno observable perfectamente definido.
Los fenómenos observables se pueden clasificar en:

Deterministicos. Se puede predecir el resultado.
Aleatorios. No se puede predecir el resultado.
Espacio Muestral (Resultados). Es el conjunto de todos los posibles resultados que hay en un fenómeno aleatorio. El espacio muestral se clasifica en:
Espacio muestral Discreto. Es aquel donde se puede contar el número de posibles resultados.
Espacio muestral Continuo. No se puede enumerar los posibles resultados, debido a que, el espacio muestral continúo está definido sobre la recta de los números reales.
Evento. Es un conjunto de resultados que tiene cierta característica común. Los eventos pueden ser:
Evento seguro. Es aquel que tiene todos los posibles resultados.
Evento imposible. Es aquel que no tiene un posible resultado.
Evento complementario. Es aquel evento que está compuesto por los eventos que no están en este evento.
Eventos mutuamente excluyentes. Para que un evento sea mutuamente excluyente debe cumplirse que A"B=Ø.
Evento colectivamente exhaustivo. Un conjuntos de eventos E1, E2,...En son colectivamente exhaustivos cuando E1U E2.... UEn= S, donde S es el espacio muestral.

TECNICAS DE CONTEO
TÉCNICAS DE CONTEOS
Principio fundamental del conteo.
Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes y si continuo con el procedimiento n2 maneras diferentes y si después de efectuados estos, n3 otro procedimiento de maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de formas o maneras en los que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de n1·n2 · n3··· nr =nT. El número total (nT) de formas o maneras en que puede realizarse un evento es n1·n2 · n3··· nr =nT

DIAGRAMA DE ÁRBOL
Es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo · Nodo inicial. Puede o no representar un evento. · Nodos finales o terminales. Son el número de alternativas. · Ramas. Une a dos nodos.


Ejemplo: Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico



TÉCNICAS DE CONTEO


Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados. Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.
Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.


LA TÉCNICA DE LA MULTIPLICACIÓN

La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas En términos de fórmula Número total de arreglos = m x n Esto puede ser extendido A más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o: Número total de arreglos = m x n x o


Ejemplo: Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor? Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin). Número total de arreglos = 3 x 2
No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo: Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48


LA TÉCNICA DE LA PERMUTACIÓN


Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?


Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes: T D C D T C C D T T C D D C T C T D
Permutación: son un orden de los elementos que deben de formarse a través de arreglos. La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:


Donde:
nPr: es el número de permutaciones posible
n: es el número total de objetos
r: es el número de objetos utilizados en un mismo momento

!=factorial


Ejemplo:
Juan tiene 8 tipos de computadoras pero solo tiene tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?
n P r = n! = 8! = 8! = 336
(n – r )! ( 8 – 3 )! 5!


En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente:

n Pr = nr
Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes:
AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC
Usando la fórmula:
n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9


PERMUTACION CON REMPLAZO O LA SUSTITUCIÓN
“nr”
Ejemplo: ¿De cuantas variables diferentes se pueden escoger 3 cartas de una baraja de 40 cartas de sustitución?
nr (40)3= 6400

PERMUTACIÓN CIRCULAR (n-1)

Ejemplo: ¿de cuantas maneras se pueden sentar cinco niños para formar un círculo?
(n-1) (5-1)= 4! = 24


LA TÉCNICA DE LA COMBINACIÓN


En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:


Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC


Combinaciones: Una combinación es una selección de objetos en donde no importa el orden sino la pertenencia al grupo. La fórmula de combinaciones es:





Ejemplo: del jardín de niños cuantos subconjuntos de dos elementos se pueden formar con el conjunto de los nombres [Juan, Pili, Pedro, Carlos, Petra]
n=5 r=2



DISTRIBUCION SIMETRICA


Se caracteriza porque a través de un evento central de probabilidad máxima, la probabilidad de los demás disminuye gradualmente de un lado y otro
Ejemplo: grafique la distribución de probabilidad de la suma de las caras superiores de dos dados de 4 caras que se lanzan simultáneamente.

tabla de frecuencias

grafica de los datos obtenidos

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
PROBABILIDAD:



Es el estudio de los fenómenos de los que no estamos seguros de su ocurrencia
La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.


Como lo enuncia la tercera ley de newton:”a toda acción conviene una reacción” es por ello que los antiguos Toda ciencia se desarrolla como respuesta a problemas que le llegan del exterior o como respuesta a problemas que ella misma crea a medida que va progresando.

La primera referencia histórica de elaboración de estadísticas está situada en China, y alude al censo general de población del Imperio que mandó realizar el emperador Yao en el 2238 antes de Cristo.


En relación con los problemas que provienen del exterior, la Estadística ha de dar respuesta, entre otros, a los planteados por las necesidades económicas que emanan de los medios de producción y de organización del Estado.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
• Por ejemplo: el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes.


Ejemplo: Tomamos una muestra de 100 personas de las cuales 22 son menores de edad.Tenemos como


Probabilidad absoluta de que sean menores de edad sería 22.
Probabilidad relativa de que sean menores de edad sería 0.22 (22/100).

CUANTILES



CUANTILES
Los cuantiles se dividen en Cuartiles, deciles y percentiles.




CUARTILES
Estos representan el valor que está al 25%, 50% y 75% de la totalidad de los datos, estos se dividen en cuatro como su nombre lo indica.




DECILES
Del primero al noveno marcan el valor ubicado del 10% al 90% de los datos y su fórmula es:


PERCENTILES
Indican el valor que esta del 1% al 98%,99% de los datos y su fórmula es:



NOTA: para indicar que cuartil, decil, o percentil se está buscando se coloca con numero y se multiplica por n (numero de datos)






Ejemplo:
Pedro en una fiesta con sus amigos realizo una encuesta sobre las edades de sus amigos y las personas presentes y estos fueron los datos que obtuvo:


3, 5, 6, 25, 27, 27, 28, 28, 45, 47, 48, 48, 11, 14, 18, 18, 20, 24, 31, 33, 34, 36, 44, 50, 50, 52.

Con esto él quiere obtener el valor del 3 cuartil, 4 decil y 17 percentil:
Identificamos que el número de datos es 26

PostEriormente ordenamos los datos y contando en numero de lugares ubicamos nuestros resultados:



3 5 6 11 14 18 18 20 24 25 27 27 28 28 3 33 34 36 44 45 47 48 48 50 50 52
17 percentil= 14 4 decil= 27 3 cuartil= 45





MEDIA GEOMÉTRICA
Es una medida que se puede aplicar al crecimiento exponencial, ya que obtiene la raíz enésima de un grupo de n datos multiplicados entre sí, su fórmula es:


Ejemplo:
Alonso va a una tienda de sabritas y observa que los precios son los siguientes con los cuales desea obtener la media geométrica:


MEDIA ARMONICA
Se denota con la letra H, es una serie de n números es la reciproca a la media aritmética o media y su fórmula es:

ejemplo:
pilar tiene tres hermanos los cuales tienen las siguientes edades








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